Matematicamente

Le relazioni... in matematichese!

Chiedo perdono a tutti coloro che hanno a lungo atteso i miei sproloqui di matematica... purtroppo ho avuto qualche difficoltà di connessione per un certo periodo: ma sono tornata.

Dopo aver discusso di insiemi e applicazioni, un'altro concetto di base, fondamentale per qualsiasi tipo di studio successivo, sono le relazioni tra gli elementi di un insieme.

Dato un insieme qualunque, diremo che due suoi elementi sono in relazione tra loro se vale una certa proprietà definita dalla relazione stessa.

Ad esempio se la relazione è "essere maggiore di" nell'insieme dei numeri naturali, 5 è in relazione con 2, mentre 4 non è in relazione con 9 (dato che 4 non è, evidentemente, maggiore di 9).

Ovviamente ci possono essere relazini più o meno di tutti i tipi (infondo anche nella vita è così, e la matematica non è altro che un ennesimo specchio della vita...). Tanto perché siamo rigorosi, elenchiamo tutte le proprietà che può avere una relazione:

1) riflessiva: "ogni elemento è in relazione con sé stesso" (questa proprietà non è banale come sembra, pasta pensare all'esempio sopra... 4 non è maggiore di sé stesso...)

2) simmetrica: "se a è in relazione con b allora b è in relazione con a"

3) antisimmetrica: "se a è in  relazione con b allora b non è in relazione con a"

5) transitiva: "se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora a è in relazione con c" (e chi non la ricorda dal liceo questa cosa?)

6) totale: "se a non è in relazione con b allora b è in relazione con a"

Le realzioni con cui si ha più spesso a che fare, ai fatti, sono sostanzialmente due:

le relazioni d'ordine: antisimmetriche, transitive e totali (per l'appunto l'esempio sopra).

le relazioni d'equivalenza: riflessive, simmetriche e transitive.

Un esempio di relazione d'equivalenza non banale è il seguente: "nell'insieme dei numeri interi, due elementi sono equivalenti se danno lo stesso resto nella divisione per 7". Perciò, ad esempio, 8 è equivalente ad 1.