Matematicamente

Euclide e il Quinto postulato

Fin da piccoli sentiamo parlare di queste fantomatiche geometrie non-euclidee che ci vengono raccontate come un mondo strano e misterioso, comprenibile solo ai più esperti matematici. Tali affermazioni sono tendenzialmente false. Le geometrie non-euclidee sono un argomento estremamente semplice ed interessante ma per capirlo un po' bisogna raccontare bene la loro storia.

Gli Elementi è il primo testo "scolastico" di matematica mai esistito. Inizia con 23 definizioni (Il punto è ciò che non ha dimensione, la linea è lunghezza senza larghezza, i bordi di una linea sono punti, etc...), 5 postulati (ossia dati di fatto: è sempre possibile tracciare una linea tra due punti, è sempre possibile prolungare una linea retta all'infinito, è sempre possibile descrivere un cerchio qualunque sia il centro e qualunque sia il raggio, etc...) e 5 nozioni comuni (due cose che sono entrambe uguali ad una terza sono uguali fra loro, se due cose uguali sono sommate ad altre due cose uguali allora il totale e uguale, etc...). Poi attacca con i teoremi, spaziando dalla teoria dei numeri alla geometria, all'algebra... insomma: ordina tutto il sapere matematico del tempo.

Tra i 5 postulati, però, ce n'è uno, il quinto, che da molto fastidio all'autore. Si tratta infatti di un postulato dall'enunciato piuttosto lungo e complicato, che va letto con attenzione per capirlo, magari con carta e penna a disposizione per tracciare qualche figura... il postulato è il seguente:

Se una linea retta, interseca altre due linee rette in modo tale che la somma dei due angoli interni che stanno dalla stessa parte sia minore della somma di due angoli retti, allora le due rette, se prolungate all'infinito, si incontreranno dalla parte su cui stanno i due angoli minori di due angoli retti.

Diciamocelo: è proprio brutto messo come postulato! Un buon matematico, di fronte ad un enunciato come questo, si domanderà immediatamente quale possa essere la dimostrazione di questo fatto (perché un matematico non è quello che sa fare i calcoli, ma quello che sa dimostrare perché certe cose sono vere sotto determinate ipotesi). Anche Euclide, che era (o erano... se volete saperne di più guardate un po' qui!) un ottimo matematico, si pose la stessa domanda. Solo che non riuscì mai a trovare la dimostrazione e si trovò costretto a mettere quest'enunciato tra i postulati; la cosa gli dava particolarmente fastidio, infatti non lo usò finché non divenne proprio indispensabile per le dimostrazioni.

Nei secoli successivi, tutti i più grandi matematici della storia si cimentarono col problema della dimostrazione del quinto postulato. Riuscirono, col tempo, a trovare enunciati equivalenti, come "La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°" e "Presa una retta ed un punto esterno ad essa, esiste una ed una sola retta, passante per il punto e parallela alla retta data", ma di dimostrazione, neanche l'ombra.

Il primo ad avere un'idea brillante, fu un gesuita genovese, Girolamo Saccheri, intorno alla fine del diciassettesimo secolo. Egli infatti, pensò di tentare una dimostrazione per assurdo, ossia assumendo che l'enunciato fosse falso e cercando una contraddizione nel suo ragionamento. Saccheri non riuscì a trovare l'assurdo (oresemplici, ho trovato un'esempio di quanto possa essere difficile dimostrare per assurdo?). Anzi. Riuscì a costruire un mondo, piuttosto fantasioso, ma senza contraddizioni logiche al suo interno, in cui la somma degli angoli interni di un triangolo può tranquillamente essere maggiore di 180°. Il povero gesuita si terrorizzò al punto tale da non pubblicare mai quello che aveva scoperto, convinto di aver fatto un errore da qualche parte.

All'inizio del diciannovesimo secolo, quasi contemporaneamente, sebbene in parti diverse del mondo, tre matematici, Gauss, Bolyai e Lobachevskij, ebbero la stessa idea di Saccheri, ossia tentarono una dimostrazione per assurdo. Anch'essi non trovarono l'assurdo, solo che si convinsero del fatto che l'assurdo proprio non c'era, che semplicemente stavano costruendo delle geometrie diverse e che la geometria euclidea non è altro che un caso particolare di una teoria geometrica molto più vasta. Capirono quindi che l'assumere o meno il quinto postulato cambiava radicalmente il tipo di geometria, e che dunque quel quinto postulato era proprio necessario, che era davvero un postulato e non poteva essere dimostrato.