Matematicamente

I Gruppi... l'algebra è un volo pindarico!

Questo è un post per tutti quelli che sono convinti del fatto che l'algebra è la materia che s'occupa della soluzione di equazioni polinomiali o di calcolo numerico...

I gruppi sono le prime strutture algebriche con cui un matematico comincia ad avere a che fare, e dunque sono le più semplici.

Un gruppo è ina coppia (G,#) dove G è un insieme e # un'operazione binaria, ossia un'applicazione che prende una coppia di elementi di G e la manda nel loro "prodotto". Presi comunque a,b,c elementi di G, devono valere inoltre le seguenti proprietà:

1) proprietà associativa: (a#b)#c=a#(b#c)

2) esistenza del neutro: esiste un elemento che chiameremo "u" tale che u#a=a#u=a

3) esistenza dell'inverso: per ogni a, esiste un elemento a' tale che a#a'=a'#a=u

Inoltre il gruppo si dice abeliano se vale anche

4) proprietà commutativa: a#b=b#a

cerchiamo di capire quello che significa con un po' d'esempi.

Prendiamo come G l'insieme Z dei numeri interi (positivi e negativi) e come operazione consideriamo la somma. 

(Z,+) è un gruppo perché vale la proprietà associativa della somma, esiste l'elemento neutro, lo zero, ed esiste l'inverso (nel caso della somma si usa dire l'opposto ma il concetto è lo stesso...) di ogni numero... inoltre (Z,+) è anche un gruppo abeliano. Al contrario se come operazione scegliamo la moltiplicazione, (Z,*), è associativo ed esiste l'elemnto neutro, che è l'uno, non è un gruppo perché non esiste l'iverso di ogni numero. infatti, quale sarebbe quel numero intero che (ad esempio) moltiplicato per 3 mi dia 1? Se invece considero come G l'insieme Q dei numeri razionali (ovvero le frazioni) avremo che (Q,+) e (Q,*) sono entrambi gruppi abeliani...

I gruppi non-abeliani esistono. solo che non è facile portare un esempio che sia noto e/o comprensibile ai più, quindi per il momento lo ometto...