Paghe e contabilità

ESERCIZIO 33 PER L’ESAME DI TEORIA STATISTICA DELLE DECISIONI: Lezione 4

ESERCIZIO 1

Da una popolazione con σ = 2 e µ incognita si estrae un campione di n = 100 elementi. Posto x_m  = media aritmetica, trovare un numero “a” tale che P[-a > x_m -µ < a] = 0,9.

A titolo di suggerimento si consideri che:

- n = 100 è un campione sufficientemente grande;

- è opportuno ricondursi all’espressione del Teorema del Limite Centrale al fine di sfruttare l’approssimazione della Normale Standardizzata ed usare di conseguenza le relative tavole;

- infine, per trovare il valore di “a” occorre usare le tavole della Normale Standard in modo “inverso”, cioè non da “z” alla probabilità, ma – al contrario – data una probabilità ricavare il corrispondente “z”.

ESERCIZIO 2

Si supponga che 2 dadi regolari vengano lanciati 500 volte. Sia X la variabile casuale che conta il numero di volte in cui la somma delle 2 facce è pari a 5. Si stimi la probabilità che X ≥ 90 e X ≤ 110.

A titolo di suggerimento si consideri che:

- la richiesta del problema equivale a trovare P[90 ≤ X ≤ 110];

- X è una v.c. binomiale;

- in questo caso calcolare la binomiale sarebbe oltremodo laborioso: si consiglia quindi di ricondursi all’espressione del Teorema del Limite Centrale ed approssimare la binomiale con la Normale Standard;

- ai fini del calcolo della probabilità richiesta, E[X] e Var[X] sono rispettivamente il valore atteso e la varianza della v.c. binomiale.

ESERCIZIO 3

Sapendo che su 100 studenti, 40 superano un determinato esame al 1^ appello, stimare “p”. Si consideri che in questo caso ci si trova di fronte a 100 prove bernoulliane di parametro “p”, quindi si può usare come stimatore la sommatoria di 100 bernoulliane diviso 100. Verificare se tale stimatore è corretto.

Per la varianza viene proposto il seguente stimatore: ρ(1 – ρ), con ρ = p stimato. Tale stimatore è corretto ? Se non lo è, proporre uno stimatore corretto. Verificare poi la correttezza dello stimatore proposto.

Si fornisca infine la distribuzione asintotica (cioè considerando il limite per “n” che tende a più infinito) di ρ. Si consiglia di utilizzare il Teorema del Limite Centrale.

Esercizi elaborati dal Dott. Ortisi nel mese di ottobre 2004.

A cura di Walter Caputo – 22 novembre 2009