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MATEMATICA DELLA POPOLAZIONE AI TEMPI DI MALTHUS E DARWIN di Walter Caputo – 18/2/2009

"Dopo aver letto le opere di Thomas Malthus, Darwin comprese che le popolazioni tendono ad espandersi rapidamente, superando i limiti legati alla disponibilità di risorse" (Gary Stix in "L’eredità di Darwin", articolo pubblicato su "Le Scienze" di febbraio 2009).

Così Darwin ritenne che un "correttivo" alla crescita della popolazione potesse essere il meccanismo di selezione naturale, che favorisce alcuni organismi a danno di altri, contenendo comunque il numero di soggetti appartenenti ad una determinata specie.

A monte della selezione naturale vi sono mutazioni genetiche casuali: solo coloro che sperimentano mutazioni favorevoli all’ambiente trasferiscono il corredo genetico alla prole. Gli altri non sopravvivono.

Tale meccanismo appare – a prima vista – come una serie di eventi dominati dal caso: da un lato le mutazioni genetiche, dall’altro le mutazioni dell’ambiente. In realtà "un fenomeno avvenuto per caso non è un fenomeno che non ha una causa. Ne avrà certamente una, o più probabilmente, più d’una, ma noi non le conosciamo, e spesso non abbiamo alcun interesse a conoscerle" (Edoardo Boncinelli in "La genetica dell’evoluzione", articolo pubblicato su "Le Scienze" di febbraio 2009).

I "correttivi" di Malthus sono simili – per certi versi – a quelli di Darwin: chi causa la riduzione della popolazione è sempre l’ambiente, inteso in senso ampio, come insieme delle risorse disponibili. Se le risorse non sono sufficienti per sfamare una determinata popolazione, essa verrà decimata da fame, epidemie e guerre. In questo modo verrà ristabilito un opportuno equilibrio fra popolazione e risorse. Senza però che siano avvenute mutazioni genetiche casuali.

Secondo Malthus la popolazione cresce naturalmente in progressione geometrica. Ciò significa che ha un potenziale di incremento enorme, a meno che venga controllata, cioè soggetta a "freni preventivi", in grado di rallentarne la capacità riproduttiva.

Una progressione geometrica non è nient’altro che una successione di numeri che hanno una caratteristica precisa: il rapporto fra ciascun numero (escluso il primo) e quello che lo precede è costante. Ad esempio, la sequenza di numeri 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; ….. è una progressione geometrica perché 3/1 = 3; 9/3 = 3; 27/9 = 3; 81/27 = 3. Il rapporto costante fra un termine e il suo precedente è detto "ragione" della progressione geometrica ed è indicato con "q" (da quoziente cioè rapporto fra numeri). Nel nostro esempio q = 3.

Se vogliamo capire quanto grande – secondo Malthus – può diventare una popolazione se contiamo gli individui in un certo istante del tempo, è sufficiente usare la seguente formula: S_n = a₁ · [(qⁿ - 1) / (q - 1)] dove S_n significa somma fino all’ennesimo termine; a₁ è il primo termine; q è la ragione. Nel nostro esempio possiamo calcolare la somma fino al quinto termine (81), che vale S₅ = 1 · [(3⁵ - 1) / (3 - 1)] = 121. D’altronde 1 + 3 + 9 + 27 + 81 fa proprio 121.

Nel Liber Abaci (= libro dei conti) di Leonardo Fibonacci, viene riportato un divertente enigma, che oggi possiamo facilmente risolvere grazie alla formula della somma di una progressione geometrica. Il quesito è "sette vecchie vanno a Roma, ognuna ha sette muli, ogni mulo ha sette sacchi, in ogni sacco ci sono sette pani, ogni pane ha sette coltelli, ogni coltello sette guaine. Si chiede la somma di tutti". Il problema viene rappresentato graficamente nella tabella che segue.

posto a₁ = oggetto vecchie = numerosità 7

posto a₂ = oggetto muli = numerosità 7²

posto a₃ = oggetto sacchi = numerosità 7³

posto a₄ = oggetto pani = numerosità 7⁴

posto a₅ = oggetto coltelli = numerosità 7⁵

posto a₆ = oggetto guaine = numerosità 7⁶

SOMMA = 137256

Questo problema era rimasto irrisolto per secoli, se si considera che un quesito analogo si trova nel papiro di Rhind, il più completo testo matematico egizio giunto fino a noi, che risale al 1650 a.C. Oggi possiamo ottenere la soluzione tramite una progressione geometrica di ragione 7 (la ragione può essere facilmente calcolata dalla tabella precedente), la cui somma è  S₆ = 7 · [(7⁶ - 1) / (7 - 1)] = 137256.

Se la popolazione cresce in progressione geometrica, le risorse necessarie alla sopravvivenza e soprattutto il cibo, sempre secondo Malthus, aumentano solo in progressione aritmetica. Una progressione aritmetica è una successione di numeri caratterizzati da questa particolarità: la differenza fra ogni termine e il suo precedente è costante. Tale differenza viene chiamata ragione della progressione aritmetica ed è indicata generalmente con la lettera “d” (da distanza, cioè differenza fra numeri).
Ad esempio la sequenza di numeri 2; 5; 8; 11; 14; …. è una progressione aritmetica perché è costante la differenza fra ogni numero e quello che lo precede: 5 – 2 = 3; 8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; 14 – 11 = 3. In questo caso d = 3.
La somma dei primi “n” termini di una progressione aritmetica è pari a S_n = n · [(a₁ +  a_n ) / 2] dove S_n significa somma fino all’ennesimo termine, n è il numero dei termini, a₁ è il primo termine, mentre a_n è l’ultimo (cioè l’ennesimo). Nel nostro caso vale S₅ = 5 · [(2 +  14) / 2] = 40 = 2 + 5 +8 + 11 +14.

Nel modello maltusiano le risorse sono soprattutto quelle alimentari. Se scarseggiano la gente muore e quindi la popolazione si riduce finché non raggiunge una dimensione sostenibile rispetto alle risorse stesse. Inoltre, per esplicita ammissione dello stesso Malthus, nel suo modello la legge dei rendimenti decrescenti opera in maniera inesorabile. Con ciò si intende dire che una volta che tutta la terra “buona” sia stata coltivata, se i frutti dell’agricoltura non bastano, si coltivano le zone che rendono meno (ad esempio quelle in montagna). Se si cerca di coltivare qualsiasi fazzoletto di terra si può arrivare a situazioni estreme e paradossali, come il caso di Mussolini che era convinto di poter far crescere il grano nelle aiuole cittadine.
E se grazie ad opportune innovazioni si riescono ad ottenere rendimenti maggiori a parità di estensione di terreno coltivato ? Se ad esempio si utilizzano macchine agricole invece che aratro a mano ? Secondo Malthus il sollievo c’è ma è solo temporaneo, perché l’ulteriore crescita della popolazione porta a consumare velocemente anche le maggiori risorse ottenute tramite l’innovazione.
La soluzione resta solo quella di porre dei “freni preventivi”: limitare la nuzialità al fine di limitare la prolificità.

Lo schema maltusiano “trova la sua applicazione di elezione nelle economie agricole costrette dalla limitata disponibilità di terra e in popolazioni povere che impiegano la gran parte delle loro disponibilità in consumi alimentari: tutti i paesi del mondo, grosso modo fino all’epoca di Malthus (1800) e alla rivoluzione industriale, e gran parte dei paesi più poveri, fino ai nostri giorni” (Massimo Livi Bacci – “Storia minima della popolazione del mondo” – Il Mulino 2002).
Fortunatamente i processi industriali dei paesi ricchi superano i vincoli maltusiani, in quanto l’innovazione tecnologica è continua e le risorse sono in gran parte sostituibili e quindi non soggette ad esaurimento in tempi brevi.