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VINCERE GIOCANDO A DADI: UN QUESITO STORICO CON UNA SOLUZIONE MATEMATICA

Vincere giocando a dadi è un desiderio di molte persone. Tale desiderio talvolta si realizza, talaltra no, ma comunque lascia sempre nel giocatore la speranza di vincere in futuro, magari tramite un metodo matematico sicuro che - una volta scoperto - deve essere gelosamente conservato nella più assoluta segretezza.

Anche il Cavalier de Méré voleva vincere giocando a dadi. Era uno spirito vivace oltre che accanito giocatore d'azzardo, ma purtroppo le sue conoscenze matematiche non erano sufficienti ad individuare il segreto del successo. Così si rivolse ad un matematico affermato, Blaise Pascal (1623 - 1662), ponendogli alcuni precisi quesiti.

Il Cavaliere "si lamentò che la matematica lo faceva perdere al gioco, perché aveva calcolato per una combinazione ai dadi una probabilità maggiore di ½, aveva scommesso a lungo su tale combinazione; ma invece di vincere perdeva" (Giorgio Dall'Aglio - "Calcolo delle probabilità" - Zanichelli 2003).

Grazie alla soluzione di Giorgio Dall'Aglio, proviamo ad entrare nel dettaglio del quesito di cui sopra, cercando di far in modo che tutti possano capire i meccanismi principali legati all'incertezza tipica del lancio di un dado.

Innanzitutto partiamo dal fatto che a noi interessa esclusivamente vincere, quindi cerchiamo una probabilità maggiore di ½, cioè maggiore del 50%, nella speranza che su un numero di lanci più o meno elevato siano più numerose le volte in cui vinciamo, rispetto a quelle in cui perdiamo.

Inoltre decidiamo di scommettere sull'uscita della faccia numero 6 e di conseguenza cerchiamo la probabilità che esca almeno una volta 6. Con il termine "almeno una volta" intendiamo che può uscire una volta 6, ma anche 2 volte, 3 volte, 4 volte e così via, fino ad esempio a 100 volte 6 se dovessimo effettuare 100 lanci di un dado. Ma il punto è proprio questo: non sappiamo quanti lanci devono essere effettuati affinché sia "garantita" la probabilità ricercata.

Naturalmente desideriamo lanciare un dado il numero di volte minore possibile, altrimenti il nostro giocatore avversario ci dirà - con il ghigno sulle labbra - che stiamo cercando di replicare con il dado il lancio di una moneta. Tutti (o quasi) sanno infatti che lanciando 10 volte una moneta è possibile che escano 10 teste (o anche 10 croci), ma se lanciamo una moneta un milione di volte, è "praticamente certo" che usciranno in tutto 500.000 teste e 500.000 croci, e quindi la probabilità di uscita di una faccia della moneta è ½ cioè il 50%. In maniera analoga, dato che il dado ha 6 facce, dopo un milione di lanci, ogni faccia sarà uscita 166.666,66 volte (= 1.000.000 / 6), numero che approssimiamo a 166.667 poiché il numero di lanci è un numero naturale, cioè soltanto intero positivo (non si possono effettuare ad esempio 742452,3 lanci, ma solo 742452 oppure 742453). Quindi la probabilità di uscita di una faccia è 1/6, poiché su 6 casi possibili, uno solo è contraddistinto dalla faccia che ci interessa (ad es. la faccia numero 6). 1/6 equivale al 16,66% [= (1/6) x 100].

A questo punto possiamo formulare in maniera definitiva il nostro quesito: dobbiamo trovare il più piccolo numero n tale che lanciando n volte un dado la probabilità che esca almeno un 6 sia maggiore di ½.

Se facciamo un solo lancio i casi possibili sono 6 (le 6 facce del dado) e se facciamo 2 lanci ? Ogni faccia del dado del primo lancio può combinarsi con ciascuna delle 6 facce del dado del secondo lancio, quindi le possibili combinazioni sono 36 (= 6 x 6). Allora possiamo affermare che su n lanci si hanno 6ⁿ casi possibili:

• un lancio: n = 1, quindi 6¹ = 6 casi possibili;
• due lanci: n = 2, quindi 6² = 36 casi possibili;
• tre lanci: n = 3, quindi 6³ = 216 casi possibili;
• quattro lanci: n = 4, quindi 6⁴ = 1296 casi possibili

e così via.

Se la probabilità può essere ottenuta come rapporto fra casi favorevoli all'evento e casi possibili, e i casi possibili sono 6ⁿ , quanti sono i casi favorevoli ? Possiamo determinare i casi favorevoli in questo modo: casi possibili meno casi sfavorevoli = casi favorevoli, che sono quindi 6ⁿ (casi possibili) meno 5ⁿ (casi sfavorevoli: uscita di qualunque faccia che non sia il 6). Una piccola prova con la calcolatrice, assegnando ad n un qualsiasi valore numerico, ci convincerà che 6ⁿ meno 5ⁿ non fa 1ⁿ .

La probabilità ricercata è quindi: casi favorevoli / casi possibili = (6ⁿ - 5ⁿ ) / (6ⁿ). Con un piccolo passaggio algebrico - in pratica "ritornando indietro" rispetto al minimo comune multiplo - è possibile scrivere: 

(6ⁿ - 5ⁿ) / (6ⁿ) = (6ⁿ / 6ⁿ) - (5ⁿ / 6ⁿ) = 1 - (5/6)ⁿ  

Siamo giunti ad un primo risultato: P(di ottenere almeno un 6 in n lanci) = 1 - (5/6)ⁿ dove P sta per Probabilità. Non ci resta che sostituire ad n il numero di lanci finché non troviamo una probabilità superiore a 0,50. Proviamo con numeri crescenti, a partire da zero:

• Zero lanci: n = 0, quindi P = 1 - (5/6)⁰ = 1 - 1 = 0. Se facciamo zero lanci, la probabilità di vincere è zero, poiché stiamo decidendo di non giocare;
• Un lancio: n = 1, quindi P = 1 - (5/6)¹ = 1/6 = 0,1666 = 16,66%. Con un lancio ritroviamo esattamente la probabilità che esca la faccia 6;
• Due lanci: n = 2, quindi P = 1 - (5/6)² = 1 - (25/36) = 11/36 = 0,3055 = 30,55%. Con 2 lanci abbiamo qualche probabilità in più di vincere;
• Tre lanci: n = 3, quindi P = 1 - (5/6)³ = 1 - (125/216) = 91/216 = 0,4212 = 42,12%. Con 3 lanci non abbiamo ancora superato il 50%;
• Quattro lanci: n = 4, quindi P = 1 - (5/6)⁴ = 1 - (625/1296) = 671/1296 = 0,5177 = 51,77%.

Con 4 lanci abbiamo superato il 50%, possiamo quindi affermare che bastano 4 lanci affinché la probabilità che esca almeno un 6 sia superiore al 50%.

Sulla base di questo risultato, ragionando in maniera analoga, possiamo risolvere il problema posto dal Cavalier de Méré a Pascal: qual è il più piccolo numero n tale che lanciando n volte due dadi, la probabilità di avere almeno un doppio 6 sia maggiore di ½. L'unica differenza rispetto al caso precedente è che ora abbiamo 2 dadi (invece che uno) e quindi:

• i casi possibili sono 36ⁿ;
• i casi favorevoli sono 36ⁿ meno 35ⁿ.

Di conseguenza P(di ottenere almeno un doppio 6 in n lanci) = (36ⁿ - 35ⁿ) / (36ⁿ) = (36ⁿ / 36ⁿ) - (35ⁿ / 36ⁿ) = 1 - (35/36)ⁿ, che per n = 25, vale 0,5055 cioè 50,55%. Ciò significa che bastano 25 lanci (di due dadi per ogni lancio), affinché la probabilità di ottenere un doppio 6 sia maggiore di ½.

Il Cavalier de Méré riteneva che fossero sufficienti solo 24 lanci. Quale fu il suo errore ? Egli aveva correttamente calcolato il numero minimo di lanci, pari a 4, perché avesse una probabilità maggiore del 50% di ottenere almeno un 6, ma poi aveva determinato il numero minimo di lanci di due dadi estendendo in maniera scorretta il risultato ottenuto per un singolo dado. Essendo il doppio 6 sei volte meno probabile del singolo 6, aveva moltiplicato i 4 lanci per 6, ottenendo appunto 24.

Vincere o perdere non è quindi dovuto alla fortuna oppure al caso, è semplicemente matematica.

Walter Caputo - 22 febbraio 2009