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“Teorema dell’incompletezza”

Post n°293 pubblicato il 02 Dicembre 2008 da Hiram.sc
 

M.C. Escher, Cascata.

“ascoltare la musica equivale alla nascosta attività aritmetica di un animo che non è consapevole di effettuare un calcolo, ma che ne percepisce il risultato in termini di piacevolezza”

(G.W. Leibniz, Die Philosophischen Schriften, a cura di Gehrard, Lorenz, Leipzig, 1932, pp. 605-606)

  

"....Uno dei canoni più strani dell’Offerta è il “Canos per tonos” a tre voci, nel quale la voce più alta espone una variazione del “Tema Regio” e le due voci sottostanti sono un’armonizzazione del tema centrale.

La stranezza di questo canone sta nel fatto che quando il tema giunge alla conclusione (o sembra giungerci) non è più in do minore ma in re minore. Ripetendo il processo si arriva alla tonalità di mi, poi alla tonalità di fa e così via. Dopo un certo numero di iterazioni ci si aspetterebbe di trovarsi ad una tonalità più alta. E invece no! Ci si ritrova alla tonalità di partenza; e così all’infinito. Queste modulazioni successive inducono l’orecchio ad aspettarsi una tonalità più alta rispetto a quella di partenza, ma dopo la sesta modulazione ci si ritrova, non senza un forte capogiro, alla tonalità di partenza. Dunque, salendo o scendendo da una scala con organizzazione gerarchica, ci si ritrova al punto di partenza.

Dato che ogni “copia” del canone conserva l’informazione originaria, cioè il tema originario, è evidente che tale trasformazione – che mantiene l’informazione – è equivalente al termine matematico di isomorfismo. E questo ci porta di tutto punto all’interno di un universo semantico contiguo, l’universo del numero, ovvero la mathesis. Contiguo. Ma avremmo potuto dire speculare visto che le strutture penta-dimensionali della musica hanno un corrispettivo nel linguaggio della matematica.

In particolare, il canone utilizzato nell’Offerta può essere interpretato con il “Teorema dell’incompletezza” di Gödel (questa è la tesi esposta da Hofstadter in Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante).

Potrebbe sembrare assurdo, ma in questa teoria, complessa e inaccessibile a non addetti ai lavori per il grado di tecnicismo e di astrazione di cui si serve, si formalizza un’intuizione, semplice ma robusta, che fece la sua comparsa più di duemila anni fa.

La questione riguarda il famoso paradosso di Epimenide, ai più conosciuto come “paradosso del mentitore”:

…se Epimenide da Creta afferma: tutti i cretesi mentono, allora Epimenide dice il vero o dice il falso?

Non c’è soluzione di senso per questa proposizione visto che in tutti e due i casi abbiamo come unica possibilità una contraddizione. Infatti, se Epimenide dice il vero, allora è ovvio che dice il falso; d’altro canto se dice il falso, và da sé che sta dicendo il vero.

È evidente a questo punto che siamo all’interno di un circolo vizioso, un labirinto logico che non ammette alcuna via d’uscita.

Non abbiamo bisogno di sforzarci molto per trovare altri esempi di questo semplice ragionamento circolare. Il primo ce lo suggerisce Bertrand Russell, uno dei più importanti filosofi della matematica del secolo scorso. L’argomento suona pressappoco così:

…in un villaggio dove tutti gli uomini sono rasati, c’è un solo barbiere il quale rasa tutti gli uomini che non si radono da soli. Orbene: chi rade il barbiere?

Se distinguiamo gli uomini del villaggio in due insiemi, quelli che si radono da soli e quelli che si fanno radere dal barbiere, ricadiamo di nuovo nella “reductio ad absurdum”.

Un ultimo esempio, più subdolo e forse un tantino naif. Leggete la proposizione che segue e stabilite se è vera o è falsa:

 “questa proposizione è falsa”

Non preoccupatevi se comincia a girarvi la testa. È normale. Ci sono voluti decine e decine di secoli per comprendere queste stranezze e per ricondurle a forza in una logica di umana comprensione.

.

Kurt Gödel dimostrò che, all’interno di un sistema matematico, ad esempio l’aritmetica, è possibile derivare degli enunciati che sono indimostrabili a partire dagli assiomi di base (ovvero le regole grammaticali attraverso le quali è lecito combinare le parole – ovvero le formule –  in modo sensato). Se si definisce una struttura assiomatica come “coerente”, allora l’insieme stesso degli assiomi sarà incompleto, cioè esisterà sempre una domanda che non troverà risposta sulla base di questi.

Detta in altro modo la tesi di Gödel suona grosso modo così: potete sforzarvi finché volete, costruire senza posa le più astratte e perfette strutture matematiche possibili, ma non c’è via di scampo poiché ogni sistema matematico contiene in sé proposizioni irrimediabilmente non decidibili. Questa proprietà viene anche detta ricorsività e su di essa si è sviluppata buona parte della logica-matematica contemporanea...."

Davide Rabacchin 

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Commenti al Post:
Hiram.sc
Hiram.sc il 02/12/08 alle 00:36 via WEB
Hofstadter Douglas R. Gödel, Escher, Bach. Un’eterna ghirlanda brillante, Adelphi Musica, Arte e Matematica. Afferma l’autore: «Ho compreso come per me, Gödel Escher e Bach erano soltanto ombre proiettate in diverse direzioni da una qualche essenza solida e centrale. Ho cercato di ricostruire l’oggetto centrale, ed ecco il perché di questo libro.» Tutto comincia con il paradosso di Epimenide: “questa frase è falsa”, proposizione di per sé, né vera né falsa. C’è dunque bisogno di un sistema logico più ampio. Di qui il tentativo dell’uomo di comprendere la propria Mente. Può comprendere se stessa o c’è bisogno di un altro ente superiore? Quale? Un percorso affascinante, imperniato sulla dimostrazione del Teorema di Incompletezza di Gödel. Un viaggio che spazia dalla filosofia greca alla biologia molecolare, passando per la filosofia zen, fino all’intelligenza artificiale e le sue implicazioni sia tecniche che filosofiche. L’opera affronta con disinvoltura e chiarezza espositiva molti argomenti complessi. Si articola in venti capitoli alternati, in una sorta di contrappunto, con dialoghi surreali tra Achille e la Tartaruga, che offrono una trasposizione letteraria dei canoni musicali di Bach. Un libro eccezionale, unico. Lo consiglio vivamente a tutti.
 
ofregon
ofregon il 02/12/08 alle 18:20 via WEB
Fratello....sei forte! ^^joe^^
 
 
Utente non iscritto alla Community di Libero
Anonimo il 02/12/08 alle 20:26 via WEB
grazie Fra..... Hiram.:.
 
Dovere_di_vivere
Dovere_di_vivere il 02/12/08 alle 19:02 via WEB
Cioa Hiram, interessante! Ci devo ritornare sopra con calma! Per il momento ti auguro una buona serata! Ciao :-)
 
 
Utente non iscritto alla Community di Libero
Anonimo il 02/12/08 alle 20:27 via WEB
son dieci hanni che ci penso .))))) Hiram.:.
 
 
Utente non iscritto alla Community di Libero
Anonimo il 02/12/08 alle 20:28 via WEB
ci vole to fratello er dj.... lui con la musica...trova a strada. :-))
 
Utente non iscritto alla Community di Libero
Anonimo il 02/12/08 alle 20:32 via WEB
“ascoltare la musica equivale alla nascosta attività aritmetica di un animo che non è consapevole di effettuare un calcolo, ma che ne percepisce il risultato in termini di piacevolezza” potremmo pure die vivere per certe persone e sentire oltre...percepire segni..essi non comprendono o ancora non conoscono l'algoritmo che genera nei tutto ciò nella loro esperienza di vita,ma che ne percepiscono il risultato in termini di piacevolezza, verità fedeltà a vibrazioni superiori. Hiram.:.
 
metelontane
metelontane il 02/12/08 alle 22:58 via WEB
I sussurri aprono lo star gate...sussurri di un cuore vero. Se apri la porta non torni indietro...i due mondi s'intrecciano, si fondono, vivi due verita'...solo il cuore impavido d'un guerriero di luce lo puo'...la polvere di stelle resta sul suo corpo nel quotidiano...ed ogni forma, suono, formula matematicaimpossibile si fa perfezione. Vivi nell'eterno della tua luce...riflessa nel tuo altro...affondi nel Al-Lathif...l'Impalpapile. Dolce notte Guerriero di Luce.
 
Dovere_di_vivere
Dovere_di_vivere il 03/12/08 alle 04:00 via WEB
Uno dei fratelli Strauss amava ripetere che la musica è la prova che Dio esiste. L'armonia, le sequenze, le pause, le note che sono molte di più di quello che c'insegnano, ritmi e andamento sono componenti variabili ed intersecantesi praticamente in infinite combinazioni da cui è impossibile ricavare delle regole limitate e limitanti. La matematica non è scienza esatta proprio perchè basata su assiomi comodi alla logica umana; ci aiuta a scoprire una parte dello spettro della realtà, ma una parte infinitesimale. La geometria peggio ancora. Le rette sono sempre parallele? No...lo spazio e la luce, da poco si sa (A. Einstein), vengono curvati dalle varie forze attrattive ( di cui una è la gravità) fra gli spazi siderali. Tutto alla fine converge nei buchi neri...dunque anche ciò che è parallelo. Azz...scusa...avevano ragione certi politici a parlare di convergenze parallele! ^____^ La matematica la si può applicare pure al linguaggio ed alla comunicazione ( te ne ho fatto cenno in un tuo post precedente) nella creazione della cosiddetta grammatica trasformazionale; ha aiutato alcune forme emergenti di studio psicologico ( la P.N.L. = PROGRAMMAZIONE NEURO-LINGUISTICA) da cui è emerso qualcosa di simile sui paradossi di cui tu fai riferimento nel post. In parole povere l'uomo tende a crearsi delle mappe nel cervello sul territorio (ambiente) che rispondono a certe regole ed assiomi matematici. Qui sta l'inghippo della PNL...Funziona ed ha aiutato molto le neuroscienze a comprendere come funziona a livello simbolico la mente umana...ma c'è sempre un ma...ma non si rende conto dell'importanza della musica (relazione) che crea infinite possibilità di armonie e sfumature nei contatti umani ed extraumani! Noi comunichiamo pure con gli animali ed essi con noi (ad esempio) e non c'è possibilità di trovare regole o teoremi che spieghino l'interazione persino con gli animali...figuriamoci fra umani ed altro... L'unica via è l'accettazione della limitazione di tutto ciò che l'uomo scopre e che tutto è come le scatole cinesi o come le matriosche russe...anzi...di più! Infinito ed infinitesimo nascono da una spirale ed in una spirale convergono per poi...cosa c'è oltre il buco nero? Cos'è la materia oscura (l'80% dell'universo conosciuto)? Fermarsi...No! Indagare ...si! Ma con molta umiltà di fronte all'immensità che ci sovrasta, pensando (io amo dire) che siamo ancora agli albori della conoscenza...forse ancora alla fine di una notte oscura. -- Scusami se sono andato, forse, un pò fuori tema...ma cercare di discutere sull'immnenso e sui suoi misteri è impossibile senza "divagare". Ciao :-)
 
 
Dj_2008
Dj_2008 il 05/12/08 alle 03:51 via WEB
A'nvèdi che papello che scrive sor fratè pe dì che la musica è na cosa complessa! A DDV...stringi!!!!!!!!!!!!! ^_____^ Buona giornata sor Hiram! I miei rispetti :-)
 
 
Utente non iscritto alla Community di Libero
Anonimo il 05/12/08 alle 08:19 via WEB
C O M P L I M E N T I............ solleviamo la nostra mente dal numero e dalla parola, cogliamo il brivido della coincidenza, sicuri ai bagliori di piccole verità che sanno scorgere o l t r e ogni limete e condizione, oltre ogni luogo dato da recinti e ingressi. un abbraccio DDV. Hiram.:.
 
   
Dovere_di_vivere
Dovere_di_vivere il 05/12/08 alle 17:11 via WEB
"...solleviamo la nostra mente dal numero e dalla parola..." Rende bene il nostro modo di osservare ed affrontare il brivido della coincidenza. Ricambio. Ciao :-)
 
per_riavere_te
per_riavere_te il 03/12/08 alle 08:35 via WEB
grazie delle tue visite....e di spendere sempre una parola giusta per me......se ti va commenta il mio ultimo post...un sorriso buona giornata...........
 
lunarossa111126
lunarossa111126 il 03/12/08 alle 15:18 via WEB
viene in aiuto la geometria... il "Canos per tonos" ha una struttura romboidale... come ogni assioma che segue un iter sillogico...
 
Utente non iscritto alla Community di Libero
Anonimo il 03/12/08 alle 22:30 via WEB
hiram......sono molto giu'....ti lascio un sorriso cmq...un abbraccio...per_riavere_te
 
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