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L'Angelo di Goedel (8/N)

Post n°214 pubblicato il 11 Marzo 2008 da semi.conduttore
 

Questo me lo sarei risparmiato volentieri, soprattutto perché non mi sento in grado di, ma l'amika k. mi tira per i capelli.
Il primo teorema di Goedel dice, più o meno, che dato un sistema formale S abbastanza potente da contenere l'aritmetica (l'aritmetica, tanto per farla chiara e distinta, "è" numeri naturali con in aggiunta le operazioni di somma e prodotto), esiste almeno una proposizione P tale che né P né la sua negazione sono dimostrabili in S.
Detto altrimenti, P è indecidibile. Eppure P è vera.
Smazzando alla grossa, la proposizione P suona più o meno così: "Io non sono dimostrabile". Ora, capisco che sia difficile accettare l'idea di una proposizione matematica (P) che asserisca la sua propria indimostrabilità, eppure è possibile costruirla, come Goedel ci ha mostrato. La proposizione P è l'equivalente matematico delle proposizioni (in linguaggio naturale): "Questa frase è falsa", oppure, per tornare al classico, "Io, che sono di Creta, dico che tutti i cretesi mentono".
Ora, mettetevi nei panni di un povero matematico (mi viene in mente una barzelletta, la dico dopo). Vi trovate di fronte a una proposizione aritmetica P che asserisce la sua indimostrabilità. Allora le cose sono due: o le date retta (questo significa che la proposizione è vera senza che sia possibile dimostrarla) oppure non le date ascolto e provate a dimostrarla. Se dimostrate che è vera, allo stesso tempo avete dimostrato che è falsa (alla fin fine asserisce che non è possibile dimostrarla, se la dimostrate avete dimostrato che l'aritmetica produce proposizioni false, perché P, non dimenticate, è una proposizione aritmetica, cioè un teorema). Delle due l'una: o l'aritmetica è coerente ma incompleta (esistono proposizioni vere che non possono essere dimostrate), oppure è completa ma incoerente (esistono proposizioni tipo P che possono essere dimostrate tanto quanto la loro negazione).
Il secondo teorema di Goedel dice che se S è un sistema formale abbastanza potente da contenere l'aritmetica, non è possibile provare la coerenza di S all'interno del sistema.
Da notare che il primo teorema costruisce una proposizione indecidibile, il secondo invece, in qualche maniera, afferma che tale proposizione è vera, ammazzando la presupposta completezza dell'aritmetica (o di qualsiasi altro sistema formale abbastanza esteso da contenerla).

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Commenti al Post:
Utente non iscritto alla Community di Libero
Anonimo il 11/03/08 alle 16:18 via WEB
E la barzelletta? Sai che amo le tue barzellette. (ubi)
 
 
semi.conduttore
semi.conduttore il 11/03/08 alle 16:22 via WEB
se non la pianti subito di pigliarmi per il culo racconto quella che sai
 
   
Utente non iscritto alla Community di Libero
Anonimo il 11/03/08 alle 16:46 via WEB
Uh, che carattere! Bacioti.
 
Utente non iscritto alla Community di Libero
Anonimo il 11/03/08 alle 17:33 via WEB
uffff, ma io sapevo già che ci sono un sacco di cose che non si può dire se siano vere o no! :-) kleo
 
 
semi.conduttore
semi.conduttore il 11/03/08 alle 21:45 via WEB
sapere l'acqua calda è un conto, dimostrarla un altro, come sanno tutti quelli che hanno studiato meccanica statistica e hanno passato l'esame con almeno 27. come direbbe il mio geniale amico Carlos, un conto saperlo, un conto viverlo nella carne.
 
   
kleocoppersmith
kleocoppersmith il 12/03/08 alle 08:05 via WEB
eddai, era una battuta- cmq, un conto è dimostrare le cose, un conto è crederci (viverlo nella carne è più 'crederci' che 'dimostrare')
 
     
semi.conduttore
semi.conduttore il 12/03/08 alle 12:54 via WEB
ma lo so che era una battuta. ammetterai che riuscire a scrivere una formula aritmetica che dice "io non posso essere dimostrata" è un capolavoro.
 
     
Utente non iscritto alla Community di Libero
Anonimo il 12/03/08 alle 13:04 via WEB
tu dici? a me venivano sempre risultati tipo 2=0 (vabbè, il fatto che fossero sbagliati è IRRILEVANTE). cmq, evito di entrare nel merito (seriamente) finchè non spieghi come penrose usi il teorema di godel per parlare di intelligenza artificiale. k.
 
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