XYZ

Se Pk è w-coerente allora in esso non è dimostrabile xPR(x,q) che segue dalla Z° riflessione .Poichè xPR(x,q) è un enunciato Z°1 che asserisce falsamente la dimostrabilità xPR(x,q).Grazie all’argomentazione svolta sulla base della semplice coerenza nessuna delle R(x,q) con x=0,1,2,… può essere falsa da cui risultano dimostrabili tutte le R(x,q) sempre per x=0,1,2,… e quindi xPR(x,q) non potrebbe essere dimostrabile senza andare in contraddizione con l’1-coerenza.Si che se Pk è semplicemente coerente xPR(x,q) è un P°1 enunciato vero ma non dimostrabile quindi Pk è W-incompleto dove R(x,q) costituisce un esempio di formula A(x) tale che risultano dimostrabili tutte le A(x) per x=0,1,2,… mentre non lo è xPA(x).Se Pk è W-coerente o 1-coerente uno dei due enunciati xPR(x,q) e xR(x,q) può essere aggiunto a Pk come nuovo assioma ottenendo così un’estensione coerente Pk. Se infatti l’aggiunta di una di esemente coerente se portasse a contraddizione l’altra dovrebbe essere dimostrabile in Pk.Quindi se Pk è coerente l’aggiunta di xPR(x,q) costituisce un esempio di sistema formale Pk semplicemente coerente ma W-incoerente e 1-incoerente.Ciò dimostra come il proposito di dimostrare soltanto la semplic coerenza di un sistema formale S,se anche avesse avuto successo,non sarebbe bastato allo scopo dal momento che in S potrebbero esserci teoremi falsi come xPR(x,q) in Pk se Pk è semplicemente prevista.